Les quantificateurs : « Les quantificateurs sont des termes qui introduisent une notion de quantité. C’est donc par le biais des quantificateurs que l’enfant commence à aborder les quantités. On distingue deux sortes de quantificateurs :
Les quantificateurs logiques et les naturels. Les quantificateurs naturels peuvent exprimer l’idée de quantité dans l’absolu ou de manière comparative.
Les quantificateurs comparatifs : comme leur nom l’indique, procèdent par comparaison entre deux quantités. Les trois principaux sont « autant que, plus que, moins que ». La comparaison des quantités est exprimée de manière explicite.
Les quantificateurs absolus : n’expriment explicitement aucune idée de comparaison ; il s’agit de « un peu », « quelques-uns », « beaucoup », « plusieurs », « tous », …
La correspondance terme à terme : est un moyen de comparer, sans le nommer, le cardinal de 2 collections différentes. Il y a juxtaposition des éléments des 2 collections que l’on compare.
Le nombre : Après avoir abordé la quantité de manière globale, l’enfant éprouve le besoin de la préciser davantage ; il va donc avoir progressivement recours au nombre.
Le concept de nombre est basé sur la notion intuitive « autant que ». En isolant la propriété numérique de toute une série d’ensembles équipotents, on réalise une abstraction qui donne naissance au concept du nombre naturel.
Le nombre étant la propriété numérique d’un ensemble, il s’agit donc d’une propriété quantitative parmi d’autres d’ordre qualitatif. Cette propriété quantitative doit donc être travaillée avec de nombreux ensembles concrets ayant le même cardinal afin que la notion de nombre s’abstraie.
Un nombre : est un concept abstrait qui exprime une quantité. Un nombre est le cardinal d’un ensemble. Il indique le nombre d’éléments de cet ensemble.
Un chiffre : est un symbole, un code, un signe purement conventionnel utilisé pour représenter un nombre.
Un schème : est une structure représentative de la quantité et facilement utilisable par l’enfant.
On peut dire qu’un enfant à la maîtrise des petits nombres (tels que 5, 6, 9) lorsqu’il en a une perception globale, c’est-à-dire lorsqu’il est capable d’identifier ces nombres à travers une structure bien précise sans avoir recours au dénombrement.
Nous pouvons comparer deux ensembles à vue si ceux-ci contiennent très peu d’éléments. Cette propriété se base sur le Subitinzing, on reconnaît le nombre 5 dans différentes configurations même si les configurations ne sont pas organisées. À partir de 6 il faut que les configurations soient organisées ou alors faire appel à la correspondance terme à terme ou au dénombrement pour comparer deux collections.
Conservation des grandeurs discontinues (invariance numérique) :
L’adulte sait que le nombre ne change pas de valeur, quelle que soit la constellation des unités qui le composent. L’adulte reconnait un nombre dans tous les regroupements possible, variant tant par la nature des objets, que par leur disposition dans l’espace.
L’enfant ne reconnaît pas de prime à bord ces valeurs égales. La disposition des unités, leur nature, leur disposition dans l’espace peuvent changer sa perception de valeurs.
Dans le cas des nombres l’enfant doit comprendre que la modification de la disposition spatiale des éléments ne modifie nullement le cardinal d’un ensemble. Si rien n’a été retiré ou ni rajouté, l’ensemble conserve le même cardinal malgré certaines modifications apparentes. La conservation de la quantité peut être vérifiée par correspondance terme à terme, d’abord par la mise en correspondance physique, puis par le regard, puis mentalement.
Dénombrer : dénombrer un ensemble, c’est établir une bijection entre les éléments de cet ensemble et l’ensemble des nombres naturels. Au départ de manipulations concrètes, l’enfant établit une liaison rigoureuse entre la parole qui énonce le nom des nombres et la main qui manipule ou montre les objets. À la suite de nombreux exercices concrets de dénombrement par manipulation, s’établira chez l’enfant la coordination parole-pensée, sans le secours de la main.
Le dénombrement (qu’on retrouve dans le langage courant sous le terme de « comptage ») « est un instrument culturel utilisé par l’enfant pour construire les concepts de nombre cardinal, ordinal et nombre mesure, lorsqu’il s’agit de collections de petite taille » (Fuson 1991)
Attention : en mathématique il faut faire la distinction entre compter et dénombrer. Dénombrer c’est plus que compter, mais dans la vie courante on utilise souvent le terme compter au sens dénombrer. On dit « compter les enfants » et pas « dénombre les enfants ».
Le dénombrement a pour but de :
- Répondre avec précision à la question « combien »
- Comparer avec précision deux collections entre elles
- Construire une collection d’un nombre déterminé d’objets.
Le dénombrement a du sens pour l’enfant, car il est ancré dans sa vie quotidienne.
On peut quantifier des collections d’objets en appliquant et en articulant les principes suivants :
1) À un objet/élément faire correspondre un mot ;
2) Respecter l’ordre stable des mots-nombres ;
3) Exprimer le dernier mot comme cardinal de l’ensemble des éléments déjà comptés : associer le(les) geste(s) à la parole ;
4) Pour le même ensemble exprimer l’indépendance du cardinal face à une autre origine et à un autre sens du comptage (dans un ensemble il y a toujours autant d’éléments n’importe le sens dans lequel on compte ou l’élément par lequel on commence) ;
5) Pour un même ensemble, exprimer l’invariance du cardinal, même si les objets changent d’allure, occupe l’espace autrement. (même si les éléments sont rapprochés ou dispersés, le cardinal reste le même).
· COMPTER c’est appliquer le principe 1 et 2.
· QUANTIFIER c’est appliquer les principes 3, 4, 5.
· DÉNOMBRER c’est COMPTER et QUANTIFIER.
Reconnaissance tactile : Par exemple, les yeux fermés ou bandés, retrouver la quantité étudiée parmi une série d’objets dont le nombre est supérieur à celui étudié.
Situation cardinale : Elle consiste à identifier le cardinal d’un ensemble. Parfois pour répondre à la question « combien ? » l’enfant en début d’enseignement se contente de faire correspondre chaque objet à un mot de la chaîne numérique, mais ne comprend pas que la réponse à la question « combien ? » est le dernier mot énoncé. Il ne comprend pas toujours que s’il compte jusqu’au « nième » nombre (ordinal), il y a « n » objets (cardinal). La situation cardinale recouvre aussi la décomposition additive d’abord par manipulation concrète réfléchie avec de nombreux matériels, puis par représentation de la manipulation, ce qui constitue un premier pas vers l’abstraction. » 1
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